Question

已知数列{an}满足a1=12，且an+1=an3an+1（n∈N+）．（1）证明数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公

已知数列{an}满足a1=12，且an+1=an3an+1（n∈N+）．（1）证明数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=anan+1（n∈N+），数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn＜16．

Answer 1

（1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

3an+1

（n∈N₊），
∴

1

an+1

＝

3an+1

an

=

1

an

+3，
∴

1

an+1

?

1

an

=3，又

1

a1

＝2，
∴{

1

an

}是首项为2，公差为3的等差数列．
∴

1

an

=2+（n-1）×3=3n-1，
∴an＝

1

3n?1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(3n?1)(3n+2)

=

1

3

(

1

3n?1

?

1

3n+2

)，
∴T_n=

1

3

(

1

2

?

1

5

+

1

5

?

1

8

+…+

1

3n?1

?

1

3n+2

)
=

1

3

(

1

2

?

1

3n+2

)
=

1

6

?

1

3(3n+2)

＜

1

6

．
∴T_n＜

1

6

．