Question

不定积分换元法如何求解？

Answer 1

• 例如计算不定积分∫x²3√1-xdx

解：原式=3∫x²√1-x

令√1-x=t

x=1-t²

dx=-2tdt

原式=3∫（1-t²）²t(-2t)dt

=3∫（-2t²+4t^4-2t^6）dt

=-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt

=-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c

=-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。



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• 例如本题不定积分计算过程如下：

∫（1-3x）^6dx

=(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)

=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C

=-1/21*（1-3x）^7+C。

• 例如不定积分∫1/(2+ cosx)计算

设t=tan(x/2)

则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]

=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]

=(1-t²)/(1+t²)

dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)

故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]

=∫2dt/(3+t²)

=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]

=2/√3arctan(t/√3)+C



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• 再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx

分子分母同除以cos²x

=∫sec²x*lntanx/tanxdx

=∫lntanx/tanx d(tanx)

=∫lntanxd(lntanx)

=(1/2)ln²(tanx)+C。

• 换元法计算不定积分

例如∫ √(x²+1) dx

令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu。

∫sec³udu

=∫ secudtanu

=secutanu - ∫ tan²usecudu

=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu

=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu

=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|

将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：

∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C。

所以：

∫ √(x²+1) dx=(1/2)√(x²+1)*x+ (1/2)ln|√(x²+1)+x| + C。



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• 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

                                   

Answer 2

可以用反函数来做

y=arccosx,

∫arccosxdx=∫ydcosy=ycosy-∫cosydy

=ycosy-siny+C

=xarccosx-√(1-x^2)+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C