15. 若 a>0 ,b>0, 且 a^2/2+b^2=4, 则 a(1+b^2) 的最大值为？
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a>0 ,b>0, 且 a^2/2+b^2=4，
所以设a=2√2cosu,b=2sinu(0<u<π/2),
则y=a(1+b^2)=2√2cosu[1+4(sinu)^2]
=2√2cosu(3-2cos2u)
=2√2(3cosu-2cosucos2u)
=2√2(2cosu-cos3u),
y'=2√2(-2sinu+3sin3u)=0,sinu>0,
sin3u=3sinu-4(sinu)^3,
所以-2+3（3-4sin^u）=0,
7/12=sin^u,
sinu=√21/6，cosu=√15/6，
y最大值=√30/3*（1+7/3）=10√30/9.
所以设a=2√2cosu,b=2sinu(0<u<π/2),
则y=a(1+b^2)=2√2cosu[1+4(sinu)^2]
=2√2cosu(3-2cos2u)
=2√2(3cosu-2cosucos2u)
=2√2(2cosu-cos3u),
y'=2√2(-2sinu+3sin3u)=0,sinu>0,
sin3u=3sinu-4(sinu)^3,
所以-2+3（3-4sin^u）=0,
7/12=sin^u,
sinu=√21/6，cosu=√15/6，
y最大值=√30/3*（1+7/3）=10√30/9.
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