Question

密码学的基础问题？

Answer 1

这是一个非常经典的密码学问题，即在已知加密算法和相应的密文下，如何破解密钥。这个问题一般被称为线性密码分析。
对于这个特定的加密算法，我们可以选择n个明文，其中每个明文的第i位都是0或1，除了第i位是1，其他位都是0。然后，我们将这n个明文和相应的密文都表示为n维列向量，记为M1、M2、...、Mn和C1、C2、...、Cn。
接下来，我们需要计算n个方程式，每个方程式形如Cj = K*Mj，其中j=1,2,...,n。这n个方程式可以表示为一个矩阵形式：C = KM，其中C、K和M都是n维列向量，而矩阵乘法和加法都是在有限域GF(2)上进行的。
由于K是未知的，我们需要解出这个方程组中的未知数K。这可以通过矩阵的逆运算来实现，即K = C*M^(-1)，其中M^(-1)是M的逆矩阵。
然而，在实践中，由于存在噪声和误差，我们不能完全恢复出K。因此，我们需要使用某些统计方法来估计K的值。一种常见的方法是使用相关系数来度量明文和密文之间的关系，然后通过最小化相关系数的平方和来估计K的值。此外，还有其他一些更高级的技术可以用于线性密码分析。
总的来说，需要选择的明文数量取决于加密算法和密钥的复杂性，以及攻击者拥有的计算能力和统计学知识。通常，需要选择的明文数量比密钥长度要大得多，才能成功地破解加密算法。

Answer 2

这是一个基于矩阵乘法的加密算法，我们可以利用线性代数的方法进行选择明文攻击，即通过选择适当的明文来构造一个线性方程组，从而解出密钥。
假设我们选择了t个不同的明文M1, M2, ..., Mt，并分别得到相应的密文C1, C2, ..., Ct。我们将它们表示为列向量形式：
M1 = [m11, m21, ..., mn1]^T
M2 = [m12, m22, ..., mn2]^T
...
Mt = [mt1, mt2, ..., mtn]^T
C1 = [c11, c21, ..., cn1]^T
C2 = [c12, c22, ..., cn2]^T
...
Ct = [ct1, ct2, ..., ctn]^T
其中，^T表示向量的转置。
则根据加密算法，我们有以下等式：
C1 = K * M1
C2 = K * M2
...
Ct = K * Mt
我们可以将上述等式写成矩阵形式：
[C1, C2, ..., Ct] = [M1, M2, ..., Mt] * K
其中，*表示矩阵乘法，[]表示矩阵的拼接。
由于我们已经知道了明文和密文，因此上述矩阵等式可以被解释为一个形如AX=B的线性方程组，其中：
A = [M1, M2, ..., Mt]
X = K
B = [C1, C2, ..., Ct]
因此，我们可以通过求解线性方程组来恢复密钥K。由于K是一个nxn的矩阵，因此我们需要求解n个线性方程组，每个方程组包含t个未知数和t个已知数，因此至少需要选择t=n个不同的明文才能完全恢复出密钥K。
为了选择明文，我们可以采用随机的方式生成明文，确保明文之间的线性相关性尽可能小。例如，我们可以生成随机的01串作为明文，并确保任意两个明文的汉明距离（即它们之间不同比特的个数）大于等于n/2，这样可以使得线性方程组的系数矩阵满秩，从而保证方程组有唯一解。
如果密钥采用循环矩阵，则可以进一步减小密钥长度，但同时也增加了攻击的难度。下面给出至少需要询问多少个明文才能完全恢复出循环密钥的方法以及如何选择明文。
假设循环密钥K是一个kxn的矩阵，其中k是一个小于等于n的正整数。为了简化问题，我们假设k=n，即循环密钥是一个方阵。此时，加密算法可以写成：
C = K^r * M
其中，^r表示循环矩阵的幂运算，即矩阵K循环移位r次后得到的结果。注意，当r=0时，^r表示单位矩阵，即K^0=I。
类似于上面的情况，我们可以选择t个不同的明文M1, M2, ..., Mt，并分别得到相应的密文C1, C2, ..., Ct。我们将它们表示为列向量形式：
M1 = [m11, m21, ..., mn]^T
M2 = [m12, m22, ..., mn, m11]^T
...
Mt = [mt1, mt2, ..., mn, m1, m2, ..., mt-n+1]^T
C1 = [c11, c21, ..., cn]^T
C2 = [c12, c22, ..., cn, c11]^T
...
Ct = [ct1, ct2, ..., cn, c1, c2, ..., ct-n+1]^T
其中，明文Mt是通过将明文M1循环移位t-1次后得到的结果，密文Ct是通过将明文Mt加密得到的结果。我们可以将上述等式写成矩阵形式：
[C1, C2, ..., Ct] = [M1, M2, ..., Mt] * K^r
同样，上述等式可以被解释为一个形如AX=B的线性方程组，其中：
A = [M1, M2, ..., Mt]
X = K^r
B = [C1, C2, ..., Ct]
为了恢复循环密钥K，我们需要求解n个线性方程组，每个方程组包含t个未知数和t个已知数。根据线性代数的理论，我们可以使用高斯消元法或LU分解等方法求解线性方程组。在实际应用中，我们通常使用一些专门的数学软件库来进行求解。
为了选择明文，我们可以采用与上面相似的方法，生成随机的01串作为明文，并确保任意两个明文的汉明距离大于等于n/2，从而使得线性方程组的系数矩阵满秩，从而保证方程组有唯一解。此外，我们还需要确保明文之间的循环相关性尽可能小于等于密钥长度k，以避免明文中出现明显的循环模式。一个简单的方法是生成t个随机的01串作为明文，并将它们转化为矩阵A的列向量。此外，我们还可以在生成明文的同时，使用一些启发式方法来提高攻击的效率，例如差分分析、线性逼近等。
需要注意的是，尽管使用循环密钥可以减小密钥长度，但同时也增加了加密算法的计算复杂度。因此，在实际应用中，需要综合考虑安全性、性能以及密钥长度等因素，选择合适的加密算法和密钥长度。