Question

定积分怎么化？

Answer 1

带根号的定积分求法如下：

令x=sint

x：0→1，则t：0→π/2

∫[0：1]√(1-x²)dx

=∫[0：π/2]√(1-sin²t)d(sint)

=∫[0：π/2]cos²tdt

=½∫[0：π/2](1+cos2t)dt

=(½t+¼sin2t)|[0：π/2]

=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)

=π/4

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。