Question

函数 f(x)=2+sinX /1+X^2 是 （ ） 有界函数、周期函数、奇函数、偶函数

Answer 1

f(x)=(2+sinx)/(1+x^2)

有界函数函数的值域为（a,b),b>a,若b=a,(a,a),该区间等价于a<x<a,x>a且x<a,>a和<a是一对矛盾的条件，二者不可能同时成立，或者说使二者同时成立的实数是不存在的，也就是说满足这个（a,a)区间的实数x是不存在，这个区间是空集，是无意义的，所以b/=a,b取不到a,该区间的两个端点都为常数数值，

不是（-无穷，a)或者（b,+无穷），或者（-无穷，+无穷），区间中有一个是无穷，那么就不是有界函数。

 

定义域：分子2+sinx,x:R,分母/=0,1+x^2/=0,

x^2/=-1

x^2=-1

任意实数的平方>=0,不可能<0,x^2=-1:(-无穷，0）在实数范围内无解，

x^2=-1的解集是空集，

x^2/=-1的解集是x^2=-1的解集的补集，Cu(空集）=R,

定义域是分子的定义域和分母的定义域取交集，R交R=R,两个集合相等，那么两个集合的的交集等于这两个集合任意一个集合本身，A交B=A交A=A=R,因为两个集合相同，所以这两个集合本身都相等，A交B=A=B=R

定义域关于原点对称，

1. 如果是奇函数，f0:R,f(0)=（2+sin0)/(1+0^2)=(2+0)/(1+0)=2/1=2/=0

2. 奇函数如果定义域包含0，那么f(0)=0,现在f（0）/=0

3. 所以该函数不是奇函数。

   C排除

   2.如果是偶函数，f(-x)恒等于f(x)

   (2+sin(-x))/(1+(-x)^2)=(2+sinx)/(1+x^2)

   (2-sinx)/(1+x^2)=(2+sinx)/(1+x^2)

   分母1+x^2>=1>0,1+x^2>1>0推出1+x^2>0or1+x^2=1>0,1+x^2>0,两种情况的结果相同，所以结果能合并，1+x^2>0,推出1+x^2/=0,

   所以能雹则旅消掉

   2-sinx=2+sinx

   2sinx=0

4. sinx=0

   sinx恒等于0，sinx在x:R上的值域是[-1,1],0属于[-1,1],不一定恒等于0，恒等于0意思无论x在R中取何值，sinx=0对x:R恒成立，sinx不恒等于0，在R中存在至少一个x0,使得sinx0/=0,那么sinx就不恒等于0，反例，x0=pai/2,sinx0=sinpai/2=1/=0,举出了1个反例，至少一个，反例个数>=1,个数：N,N:0,1,2,3,.......+无穷，>=1,最小值是1，那么从1开始取，1,2，3......+无穷，

   1：N*

   所以推翻了sinx恒等于0的结论，所以sinx不恒等于0

   所以f(x)不是偶函数。

5. D排除

6. 假设是最小正周期为T(T>0)最小正周期是所有正周期中最小的正周期，比如sinx的最小正周期是2pai,它周期的通项是k*2pai,k:Z,k/=0,k=0,T=0,周期是不能为0的，所以k/=0,k是非零整数，然后最小正周期，k*2pai>0,k>0,k>源凳0的整数，1,2.3....+无穷，

   k*2pai=2paik,2pai>0,所以是正比例函数，函数经过一三象限，定义域是1,2,3....+无穷，是正整数，x>=1>0,x>0,第三象限x<0,没有>0,所以把第三象限去除掉，只保留第一象限的，而且x>0,所以（0,0）这个点取不到，是从（1,2pai)，（2,4pai),（3,6pai),......(k,2paik),........一直取下去的盯祥离散的点，k:N*,

   那么点的纵坐标是函数的正周期，那么2pai,4pai,6pai,.......2paik,k:N*

   是单调递增的数列，Tmin=T1=2pai,

   周期函数满足f（x+T）=f(x)对R内的任意x都成立

   (2+sin（X +T))/(1+(X+T)^2 )=(2+sinx)/(1+x^2)

   (2+sin(x+T))(1+x^2)=(2+sinx)(1+(x+T)^2)

   2+2x^2+sin(x+T)+sin(x+T)x^2=2+2(x+T)^2+sinx+sinx(x+T)^2

   2x^2+sinxcosT+cosxsinT+x^2(sinxcosT+cosxsinT)=2(x^2+2Tx+T^2)+sinx+sinx(x^2+2Tx+T^2)

   2x^2+sinxcosT+cosxsinT+x^2sinxcosT+x^2cosxsinT=2x^2+4Tx+2T^2+sinx+x^2sinx+2Txsinx+sinxT^2

   sinxcosT+cosxsinT+x^2sinxcosT+x^2cosxsinT=4Tx+2T^2+sinx+x^2sinx+2Txsinx+sinxT^2

   退不出来，不存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于x:R恒成立。

   不是周期函数，B排除，

   排除法，选A,B，C,D都排除

    

7. f(x)=(2+sinx)/(1+x^2)

   x:R,分子的值域[1,3],分母的值域y=1+x^2,a=1>0,有最小值，对称轴x=0,fmin=f(0)=1,f(x)>=fmin=f(0）=1，f(x)>=1,[1,+无穷）

   从极限的角度考虑，x趋向于-无穷，x^2趋向于正无穷，1+x^2=1+正无穷趋向于正无穷，x趋向于负无穷，sinx是震荡的，当x趋向于负无穷时候，sinx在[-1,1]中不断地变化，2+sinx在[1,3]这个范围不断地变化，

   设a=2+sinx,a:[1,3],a是在[1,3]中变化的常数，a>=1>0,a>0,a是正常数，

   limx趋向于负无穷a/负无穷=alimx趋向于负无穷1/负无穷=ax0-,

   0-是<0趋向于0,0-趋向于0，ax0-趋向于ax0=0,ax0-趋向于0，a>0,0-是<0趋向于0，该值是从0的左边无限地接近于0,该点在0的左边，那么该数<0,<0趋向于0，趋向于0-,

   那么该函数有个上界0，f(x)<0

   当x趋向于+无穷时，x^2趋向于+无穷，1+x^2=1+正无穷趋向于+无穷，分子，sinx是在[-1,1]中震荡的，x趋向于+无穷，sinx:[-1,1],2+sinx:[1,3],令a=2+sinx,a:[1,3]

   a>=1>0,a>0,a是正常数，因为a是在[1,3]这个范围变化的正常数，

   limx趋向于+无穷a/正无穷=alimx趋向于正无穷1/+无穷=ax0+,0+,趋向于0，>0,从0的右边无限地接近于0,该值是比0大，但是无限地接近于0,

   ax0+,0+趋向于0，ax趋向于0趋向于ax0=0,a,0+取向于0，a>0,0+>0,正正得正，所以ax0+>0,>0趋向于0那么是趋向于0+,那么f(x)>0

   f(x)是有界函数

8. A

    

    

    

Answer 2

有界函数
说明一芹旦下,无法弄清楚楼主的题目到底是什么：
故对题目首汪进行分类讨论：
若f(x)=(2+sinx)/(1+x²）嫌芹扰
2+sinx>0,1+x²>0
sinx≤1,x²≥0.故(2+sinx)/(1+x²)≤(2+1)/(1+0)=3
x→∞,1+x²→+∞,f(x)→0
故0

Answer 3

为有界函数。

追问

请问为何

追答

可以用导数判断，因为有驻点，所以有极值，故有界。