Question

已知a＞0，b＞0，a²+b²＝1，求1/a+8/b的最小值？

Answer 1

a＞0，b＞0，a²+b²＝1，
所以设念毁a=cosu,b=sinu,0°<u<90°，
w=1/a+8/仔慎备b=1/cosu+8/sinu,
w'=sinu/cos^u-8cosu/sin^u=0,
(sinu)^3=8(cosu)^3,
(tanu)^3=8,
tanu=2,
cosu=1/√5，sinu=2/√5，
w=√5+4√孝芹5=5√5，为所求。

Answer 2

根据均值不等式，对于任意的正数x和y，有：
(x+y)/2 >= √(xy)
两边同时乘以2，得到：
x+y >斗掘= 2√(xy)
这个不等式也可以写成：
1/x + 1/y >= 2/√(xy)
现在我们来考虑如何用这个不等式来解决原问题。
将1/a和8/b带入均值不等式中，得到：
1/a + 8/b >= 2√(1/a * 8/b) = 4√(2)/(ab)
由于a和b都是大于0的，因此ab也是大空高核于0的，可以将右边的式子转换为：
1/a + 8/b >= 4√(2)/(a²+b²) = 4√(2)
最终结果为：1/a + 8/b >= 4√(2)。
由于题目中没有要求a和b的取值范围，使得1/a+8/b可以任取正值。因此当1/a+8/b取到4√(2)时，它的最小值也就确定了，即4√(2)。念橡
综上所述，1/a+8/b的最小值为4√(2)，当且仅当a=1/√(2)和b=2/√(2)时取到最小值。