反常积分的无界函数的反常积分
先给出瑕点或奇点的概念，若 函数（或 ）时， ，则点 （或点 ）称为无界函数 的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是 的瑕点.
定义6.3设函数 在 上连续，左端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作
（ 6.27 ）
这时我们说广义积分 存在或收敛.如果 不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.
注： 表明 从大于0的方向趋于0，已经隐含了 .
类似地，设函数 在 上连续，右端点 为 的瑕点，如果 存在，就称此极限值为无界函数 在 上的广义积分.记作
（ 6.28 ）
这时我们说广义积分 存在或收敛.如果
不存在，就说广义积分 不存在、不收敛或发散.
还有，设函数 在 上连续，左端点 、右端点 均为 的瑕点，如果
及 均存在，其中 为 内的一个确定点，且 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作
如果及中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.
对于区间端点 、 均为 的瑕点的广义积分 有存在 和 均存在. 和 都存在.
其中 为 内的一个确定点，且 与
两者之间是独立变化的，
另外，设函数 在 上除一个内部点 外连续
，且内部点 为 的瑕点，如果 和 均存在，也即 和 都存在，其中 与 两者之间是独立变化的，就称 存在或收敛，记作
（ 6.29 ）
如果及 中至少有一个不存在，则称 不存在、不收敛或发散.
对于内部点 为 的瑕点的广义积分 有
存在和 均存在.和 都存在.
广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限.
为方便起见，引入记号
左端点为瑕点时，记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
右端点 为瑕点时， 记 ，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为
左端点 、右端点 均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
（ 为 内的一个确定点）
（ ）
( 这里 的值有时不必马上算出，可对抵掉. )
仅内部点 为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为
注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.
