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一元二次方程怎么解

Answer 1

一元二次方程的一般解法有以下几种：配方法（可解部分一元二次方程）公式法（在初中阶段可解全部一元二次方程，前提：△≥0）因式分解法（可解部分一元二次方程）直接开平方法（可解全部一元二次方程）直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±√n。例1：解方程（1）(3x+1)^2=7；（2）9x^2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做；（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：(3x+1)^2=7∴(3x+1)^2=7∴3x+1=±√7（注意不要丢解）∴x=(±√7-1)/3∴原方程的解为x1=(√7-1)/3，x2=(-√7-1)/3（2）解：9x^2-24x+16=11　　∴(3x-4)^2=11　　∴3x-4=±√11　　∴x=(±√11+4)/3　　∴原方程的解为x1=(√11+4)/3,x2=(-√11+4)/3配方法用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的步骤：先将常数c移到方程右边；将二次项系数化为1；方程两边分别加上一次项系数的一半的平方；方程左边成为一个完全平方式，右边成为一个常数；如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。例2：用配方法解方程3x^2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边，得：3x^2-4x=2　　将二次项系数化为1，得：x^2-4/3x=2/3　　方程两边都加上一次项系数一半的平方，得：x^2-4/3x+4/9=10/9　　配方得：(x-2/3)^2=10/9　　直接开平方得：x-2/3=±√10/3　　∴x=±√10/3+2/3　　∴原方程的解为x1=(√10+2)/3，x2=(2-√10)/3公式法把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。一元二次方程的求根公式为：当b^2-4ac0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a，x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当b^2-4ac0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a，x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个共轭的虚数根）（初中理解为无实数根）例3：用公式法解方程2x^2-8x=-5解：将方程化为一般形式，得：2x^2-8x+5=0　　∴a=2，b=-8，c=5　　∵b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=240　　∴x=(8±2√6)/4　　∴原方程的解为x1=2+√6/2，x2=2-√6/2因式分解法把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4：用因式分解法解下列方程：（1）(x+3)(x-6)=-8；（2）2x^2+3x=0；（3）6x^2+5x-50=0（选学）；（4）x^2-4x+4=0（选学）（1）解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得：　　x^2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）　　(x-5)(x+2)=0（方程左边分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）　　∴x1=5，x2=-2是原方程的解。（2）解：2x^2+3x=0化简整理得：　　x(2x+3)=0（用提公因式法将方程左边分解因式）　　∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。（3）解：6x^2+5x-50=0化简整理得：　　(2x-5)(3x+10)=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2，x2=-10/3是原方程的解。（4）解：x^2-4x+4=0　　(x-2)^2=0（完全平方公式）　　∴x1=x2=2是原方程的解。图像法一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax^2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。当b^2-4ac＞0时，该函数与x轴相交（有两个交点）；当b^2-4ac=0时，该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；当b^2-4ac＜0时，该函数与x轴相离（没有交点）。另外一种解法是把一元二次方程ax^2+bx+c=0化为x^2=(-b/a)x-c/a的形式。则方程ax^2+bx+c=0的根，就是函数y=x^2和y=(-b/a)x-c/a交点的x坐标。通过作图，可以得到一元二次方程的近似值。小结一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）

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