Question

幂级数的题

Answer 1

Un=[√(n+1) - √n]2^n x^2n
分子有理化，同乘√(n+1) + √n
Un=[√(n+1) - √n][√(n+1) + √n]2^n x^(2n)/[√(n+1) + √n]
=2^n x^(2n)/[√(n+1) + √n]
Un+1=2^(n+1) x^(2n+2)/[√(n+2) +√(n+1)]
比值法
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |2^(n+1) x^(2n+2)/[√(n+2) +√(n+1)]/2^n x^(2n)/[√(n+1) + √n]|
=lim 2|x|² [√(n+1) + √n]/[√(n+2) +√(n+1)]
=lim 2|x|² [√(1+1/n) + 1]/[√(1+2/n) +√(1+1/n)]
=2|x|²＜1
收敛区间为(-√2/2，√2/2)
当x=±√2/2时，
Un=2^n (1/2)^n /[√(n+1) + √n]
=1/[√(n+1) + √n]
与1/√n进行比较
lim Un/1/√n
=1/2
而1/√n发散，所以此时级数发散
故收敛域为(-√2/2，√2/2)