Question

证明拉格朗日中值定理

算出来F(a)＝F(b)之后用罗尔定理得出F’(§)＝0，怎么就证明完毕了？请讲解一下

Answer 1

证明如下：

如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量定理.

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

追问

为什么罗尔定理条件证明了就证明了拉格朗日中值定理

Answer 2

好，一下就数形结合的方法分析一下证明思路，（你最好画画图形哦）
拉格朗日中值定理是由洛尔定理推出来的，看看他们的条件和结论的相同和不同之处就可以找到他们的联系，从而找到证明思路
除了连续和可导的条件之外，
洛尔定理说的是
如果有
f(a)=f(b),
则必有点c,
a<c<b,
使得
f
′(c)=0
拉格朗日定理没有 f(a)=f(b)
的条件，结论是 必有点c,
a<c<b,
使得
f ′(c)=[f(b)-f(a）]/(b-a)
一比较，可以看出
如果
f(b)=f(a),
拉格朗日定理的结论就是洛尔定理
再看看几何意义，洛尔定理说的是条件成立时，在
f(x)的
曲线上必有一点切线平行于x轴
拉格朗日定理说的是条件成立时，f(x)
的曲线上必有一点其切线平行于连接两个端点的弦
由此作一个函数
F(x)
使他等于函数值
f(x)与
弦的纵坐标的差，那么在两个端点处，F(a)=Fb)=0,由这个思路就可以设计一个辅助函数

F(x)=f(x)-{f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)]

(*)
其中{
}内的式子就是连接曲线
f（x）上端点
A（a，f(a)），
B（b，f(b)）的弦所在直线上的点的纵坐标
y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(x-a)

（想想，这不就是弦的点斜式吗？）
(*)
中的
辅助函数
F（x）显然满足洛尔定理的条件：除了连续与可导的条件外，有F(b)=F(a)=0,
所以有c
a<c<b
使得

F′(c)=0,
即

f ′(c)=（f(b)-f(a））/(b-a）
明白了辅助函数
（*）是怎么想到的吧？
搞清楚了拉格朗日定理证明中辅助函数的设计思路，其实你可以设计出一系列类似的辅助函数，甚至比书上的辅助函数更简单的函数，同样可以证明这个定理
试试吧，祝你成功

Answer 3

设f(x)=x/(1+x)，x>0.则f(x)是个连续函数，满足拉格朗日中值定理的两个条件。
有:f(x+y)-f(x)=f'(ζ)*[(x+y)-x]=y*f'(ζ)
f'(ζ)=1/[(ζ+1)^2]
因为x<ζ<x+y。所以:y/[(x+y+1)^2]<y*f'(ζ)<y/[(x+1)^2]

Answer 4

证明如下：如果函数f(x)在（a,b）上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

Answer 5

在拉格朗日中值定理的证明中如何构造辅助函数的问题，在网上有相关资料，而且推导过程很详细，可以仔细体会一下。比如这个https://wenku.baidu.com/view/177ab31610661ed9ad51f370.html