Question

求曲线积分

Answer 1

∫(e^xsiny+x+y)dx+(e^xcosy)dy
现在我们补一条(1,0)到(-1,0)的直线。于是(-1,0)到(1,0)的半圆弧和(1,0)到(-1,0)的直线构成了一个回路。
根据格林公式，在这个回路上面的曲线积分，可以化为二重面积分。因为回路不是正向的，所以前面多一个负号。运用格林公式
-∫∫(e^xcosy-e^xcosy-1)dxdy
=∫∫dxdy（也就是半圆面积）=π/2
因为多计算了一条从(1,0)到(-1,0)的直线，所以最后要减去(1,0)到(-1,0)的直线上的积分，也就是加上(-1,0)到(1,0)的直线上的积分。
而在这个(-1,0)到(1,0)的直线上面的积分很容易，因为其y一直为常数0，dy为0，x在-1到1。于是
∫(e^xsiny+x+y)dx+(e^xcosy)dy
=∫xdx=½x²=0
所以最终结果就是π/2+0。