Question

证明当x,y趋于0时，f(x,y)=xy/x+y的极限不存在。

Answer 1

极限存在的条件是(x,y)以任何方式靠近(0,0)极限都相等
所以证明极限不存在就是找两种不同的方式，使得极限不相等
证明如下：
取x=y,f(x,y)=x^2/2x=x/2显然极限=0/2=0
又取x=-y,显然f(x,y)趋于无穷
所以极限不存在

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

点(x,
y)沿平面直线y=x趋于(0,
0)的情形
lim(x→0,
y=x)
[xy/(x+y)]=lim(x→0)
(x²/2x)=0
点(x,
y)沿平面直线y=-x趋于(0,
0)的情形
lim(x→0,
y=-x)
[xy/(x+y)]=lim(x→0)
[-x²/(x-x)]→∞
∴命题得证