Question

设a,b是正整数，且24a²=b²-1，求证：a，b中恰有一个为5的倍数

Answer 1

∵24a^2＝b^2－1，∴25a^2＝a^2＋b^2－1。
∵a、b都是正整数，∴（a^2＋b^2－1）是5的倍数。······①
一、假设a、b都是5的倍数，则：a^2、b^2都是5的倍数，∴a^2＋b^2－1不可能是5的倍数。
　　∴a、b不能同为5的倍数。
二、假设a、b都不是5的倍数，则可令a＝5m±1或a＝5m±2；b＝5n±1或b＝5n±2。
［为叙述简便，以下设t为待定整数。］
1、当a＝5m±1、b＝5n±1时，
　　a^2＋b^2－1＝（25m^2±10m＋1）＋（25n^2±10n＋1）－1＝5t＋1。
　　∴此时（a^2＋b^2－1）不是5的倍数。
2、当a＝5m±1、b＝5n±2时，
　　a^2＋b^2－1＝（25m^2±10m＋1）＋（25n^2±20n＋4）－1＝5t－1。
　　∴此时（a^2＋b^2－1）不是5的倍数。
3、当a＝5m±2、b＝5n±1时，
　　a^2＋b^2－1＝（25m^2±20m＋4）＋（25n^2±10n＋1）－1＝5t－1。
　　∴此时（a^2＋b^2－1）不是5的倍数。
4、当a＝5m±2、b＝5n±2时，
　　a^2＋b^2－1＝（25m^2±20m＋4）＋（25n^2±20n＋4）－1＝5t＋2。
　　∴此时（a^2＋b^2－1）不是5的倍数。
综上所述，得：a、b同为5的倍数，或都不是5的倍数，都无法使①成立。
∴a、b中恰有一个为5的倍数。