Question

求1/sinx+1的不定积分

Answer 1

1/sinx不定积分是ln|tanx/2|+C。微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

1/sinx求不定积分步骤

1/sinxdx

=1/(2sinx/2cosx/2)dx 

=1/2(sinx/2^2+cosx/2^2)/(sinx/2cosx/2)dx

=1/2(tanx/2+cotx/2)dx 

=1/2*[(-2)ln|cosx/2|+2ln|sinx/2|)+C 

=ln|sinx/2|-ln|cosx/2|+C 

=ln|tanx/2|+C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫ 1/(sinx+1) dx
=∫ (1-sinx)/(1-sin²x) dx
=∫ (1-sinx)/cos²x dx
=∫ sec²x dx-∫ sinx/cos²x dx
=tanx+∫ 1/cos²x d(cosx)
=tanx-(1/cosx)+C
=tanx-secx+C
C为任意常数