Question

无穷级数求和1/(2n)!,从n=1到无穷

Answer 1

令s(x)=Σ1/(2n!)x^2n=1/2!x²+1/4!x^4+1/6!x^6+.
s'(x)=1/1!x+1/3!x³+1/5!x^5+.
s''(x)=1+1/2!x²+1/4!x^4+1/6!x^6+.=1+s(x)
s''(x)-s(x)=1
s''(x)-s(x)=0通解

r²-1=0
r=1或-1
通解为c1e^x+c2e^(-x)
s''(x)-s(x)=1特解
s(x)=-1
所以
s''(x)-s(x)=1的通解为s(x)=c1e^x+c2e^(-x)-1
s(0)=0,s'(0)=0
s'(x)=c1e^x-c2e^(-x)
c1+c2=1
c1-c2=0
c1=c2=1/2
所以
s(x)=[e^x+e^(-x)]/2 -1
从而

无穷级数求和1/(2n)!,从n=1到无穷 和=s(1)=[e+e^(-1)]/2 -1