Question

初三 数学 急急急。。。。。。。。 请详细解答,谢谢! (5 15:9:25)

是否存在一个三边长恰是三个连续的正整数且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC？证明你的结论。

Answer 1

设三边分别是n-1、n、n+1
大边对大角，分类讨论：
(1).设最大角是2x，其次角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-2n
1-n^2)/[2(n-1)(n+1)]
=(n^2+2)/(2n^2-2)
cos2x=(n^2+n^2-2n+1-n^2-2n-1)/[2n(n-1)]
=(n-4)/(2n-2)
因为
cos2x=2(cosx)^2-1
所以
(n-4)/(2n-2)=2[(n^2+2)/(2n^2-2)]^2-1
整理得：2n^4-3n^3-13n^2+3n
2=0
n无正整数解，舍去
(2).设最大角是2x，最小角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2+2n+1+n^2-n^2+2n-1)/[2n(n
1)]
=(n+4)/(2n+2)
cos2x=(n^2+n^2-2n+1-n^2-2n-1)/[2n(n-1)]
=(n-4)/(2n-2)
因为
cos2x=2(cosx)^2-1
所以
(n-4)/(2n-2)=2[(n+4)/(2n+2)]^2-1
整理得：2n^3-7n^2-17n+10=0
解得：n=1/2(舍去),
n=-2(舍去),
n=5
所以三边是4、5、6时成立
此时最大角是arccos1/8,
最小角是arccos3/4
(3).设次最大角是2x，最小角是x
根据余弦定理
cosx=(n^2
2n+1+n^2-n^2+2n-1)/[2n(n+1)]
=(n+4)/(2n+2)
cos2x=(n^2+2n+1+n^2-2n+1-n^2)/[2(n+1)(n-1)]
=(n^2+2)/(2n^2-2)
因为
cos2x=2(cosx)^2-1
所以
(n^2+2)/(2n^2-2)=2[(n+4)/(2n
2)]^2-1
整理得：n^3-2n^2-4n+8=0
解得：n=-2(舍去),
n=2(舍去，此时三边为1、2、3，不能构成△)
综上，边长是4、5、6时，符合要求