Question

高中椭圆解析几何题

在平面直角坐标系xOy中，已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,3/2),以A,B为焦点的椭圆经过点C 1，求椭圆方程 2，设点D(0.1)，是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同点M,N,使(向量DM+向量DN)*向量MN=0?若存在，求出直线l斜率的取值范围;若不存在，请说明理由 3.对于y轴上的点P(0，n)(n≠0)，存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M,N，使(向量PM+向量PN)向量MN=0，试求实数n的取值范围

Answer 1

解:这题就是要充分使用“设而不求”这一圆锥曲线的经典解题思想。
以下
(^2)为平方的意思。
1.
A,B为焦点，所以焦距为1，于是可设椭圆方程为:
x^2/a^2
+
y^2/(a^2-1)
=
1
(要求a^2
>
1，这是因为以A,B为焦点说明长轴必然在x轴上)
代入C点坐标，化简后得到:
4a^4
-
17a^2
+
4
=
0，因式分解为(4a^2
-
1)(a^2
-
4)=0，由于a^2必须大于1，所以a^2
=
4，原椭圆方程为:x^2
/
4
+
y^2
/
3
=
1.
第2问和第3问可以连在一起解，因为2就是3的特例，所以先解第三题。
首先注意到直线可以和y轴平行，这种情况下唯一满足题设条件的解是n
=
0，但是题设又规定n不能为零，所以我们可以设直线方程为y
=
kx
+
b
(其中k不为零，因为必须不和x轴平行)，交点坐标M(x1,
y1)，N(x2,
y2)，因为(向量DM+向量DN)*向量MN=0，所以，
[
(x1,
y1
-
n)
+
(x2,
y2
-
n)
]*
(x2
-
x1,
y2
-
y1)
=
0，得到:
x2^2
-
x1^2
+
y2^2
-
y1^2
=
2n(y2
-
y1)
，
对该式，我们先用平方差公式分解左边第一项和第二项，使x2-x1，y2-y1项出现，然后两边同时除以该项，利用直线斜率k
=
(y2-y1)/(x2-x1)，就得到:
x1+x2
+
k(y2
+
y1)
=
2nk
，然后我们代入直线方程y
=
kx
+
b，得到:
x1
+
x2
+
k^2(x1
+
x2)
+
2bk
=
2nk，即
(k^2
+
1)(x1
+
x2)
=
2k
(n-b)
(1)
另一方面，我们联立直线方程和椭圆方程，消去y，化简后得到如下一元二次方程:
(3+4k^2)x^2
+
8kbx
+
(4b^2
-
12)
=
0
(2)
该方程必须有两个不同的实数根，所以判别式:
64k^2*b^2
-
4(3+4k^2)(4b^2-12)
>
0，化简为
4k^2
-
b^2
+
3>0，或者
b^2
<
4k^2
+
3
(3)
再利用根与系数的关系，有x1
+
x2
=
-8kb/(3+4k^2)，将此式代入(1),得到:
-
8kb(k^2
+
1)
/
(3+4k^2)
=
2k(n-b)，化简得到:
n
=
-b/(3
+
4k^2)
(4)
然后从(4)里解出4k^2，然后代入到(3)，就有:
b^2
+
b/n
<
0
(5)
题设问的是求n的取值范围使得直线l存在，在这儿就是求n的范围使得这个不等式有实数解，同时还必须满足等式(4)。注意，由于(4)式解出4k^2的表达式为:
4k^2
=
-
(b/n
+
3)
>
0
(k不等于0)
所以要让直线l存在，b/n
+
3就必须是负数，也就是说，不等式(5)解出来的b的范围，必须满足b/n
+
3是负数这个条件，否则就会造成无解。为了解出不等式(5)，我们分情况讨论:
如果n>0，那么不等式(5)的解是
-1/n
<
b
<
0，在这个范围内是无论如何也无法保证
b/n
+
3一定是负数的(画数轴可以很快看到，-1/n
<
b
<
0的区间段不可能是b/n
+
3
<0
解集的子集);
同理，如果n>0，那么(5)的解就是
0
<
b
<
-1/n，而b/n
+
3<0要求
b
>
-3n(注意n此时为负数)，这也是不可能的。
所以综合来看，当且仅当n=0(请看一开始讨论直线和y轴平行的情况)或者直线l和x轴平行，直线l才存在。第三问要找的范围是空集，第二问只是n=1的特例，显然也没有这样的直线。
第三问答案:空集;
第二问答案:不存在。