Question

数学归纳法证明极限存在问题

为啥一定要证明xn≤∨a+1 ,为啥不证明小于等于∨a+2

Answer 1

当n=1时，x1=√2<2，成立
假设当樱空烂n=k时，xk<2
则当n=k+1时，x(k+1)=√(2+xk)<√(2+2)=2，成立
所以对任意n，xn<2
因为x(n+1)=√(2+xn)>0，所以0
√(2/2^2+1/2)=1
所以x(n+1)>xn，即亏团{xn}单调递增
综上所述，{xn}单调有界，即{xn}极限存在
不妨令{xn}的极限为A，则对x(n+1)=√(2+xn)两边求极限
A=√(2+A)
A^2-A-2=0
(A-2)(A+1)=0
A=2或-1（舍去）脊漏
所以{xn}的极限为2