Question

t分之sint在1到x²的定积分

1.已知f(x)为sint/t在1~x^2上的定积分,求xf(x)在0~1上的定积分.
2.已知f(x）在R上连续且满足f(x-u)e^udu在0~x上的积分=sinx,求f(x).
电脑盲不会打积分符号,这样应该能看明白吧.

Answer 1

1、注意到f'(x)=2x(sinx^2)/x^2=(2/x)sinx^2,f(1)=0,则xf(x)的积分=积分（从0到1）f(x)d(0.5x^2)=0.5x^2f(x)|上限1下限0--积分（从0到1）0.5x^2f'(x)dx=-0.5积分（从0到1）2xsinx^2dx=0.5cosx^2|上限1下限0=0.5(cos1-1).
2、积分做变量替换x-u=t,t从x到0,原积分化为积分（从0到x）f(t)e^(x-t)dt=e^x积分（从0到x）f(t)e^(-t)dt=sinx,两边对x求导得e^x积分（从0到x）f(t)e^(-t)dt+f(x)=cosx,第一项就是sinx,故
f(x)=cosx-sinx