Question

n趋向无穷，n*（2的n分之1-2的n+1分之1）？

求极限

Answer 1

√n[√(n+1)-√n]

=√n[√(n+1)+√n][√(n+1)-√n]/[√(n+1)+√n]

=√n[(n+1)-n]/[√(n+1)+√n]

=√n/[√(n+1)+√n]

=1/[√(1+ 1/n) +1]

n->+∞，1/n->0 1+1/n->1 √(1+ 1/n) +1->2

1/[√(1+ 1/n) +1]->1/2

lim√n[√(n+1)-√n]=1/2

n->+∞

性质

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

Answer 2

lim(n->无穷) n.{ 2^(1/n) -2^[1/(n+1)]}

consider
lim(u->无穷) u.{ 2^(1/u) -2^[1/(u+1)]}
x=1/u
=lim(x->0+) (1/x).{ 2^(x) -2^[1/(1/x+1)]}
=lim(x->0+) { 2^(x) -2^[x/(x+1)] } /x
洛必达
=lim(x->0+) { ln2. 2^(x) -ln2. [ 1/(x+1)^2 ].2^[x/(x+1)] }
=ln2 -ln2
=0
=>
lim(n->无穷) n.{ 2^(1/n) -2^[1/(n+1)]} =0