不存在n×n矩阵B,使得B²=A

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摘要直接计算Trace(AB-BA)=Trace(AB)-Trace(BA)=0，但Trace(E)=n。所以不存在这样的矩阵。

至于杀鸡用牛刀的问题，我觉得，需要注意下面的一个事情。

假设V是一个线性空间，M是从V到V的线性映射。当V是有限维线性空间的时候，M可以写成矩阵的形式，仍然记成M，这时候有Trace(M)的定义。

如果V是无限维线性空间，一般不一定有Trace(M)的定义，而且确实有可能AB-BA=E。比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间），V里的元素都是一些函数，形如f(x)。这时候E作为恒等映射，把每个V中的元素映成自身，也就是Ef=f。现在取A把f映成f的导函数，即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x)，即Bf=xf。那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef，对任意f。也就是说AB-BA=E。

也就是说，对于无穷维的空间上

咨询记录 · 回答于2022-05-04

不存在n×n矩阵B,使得B²=A

直接计算Trace(AB-BA)=Trace(AB)-Trace(BA)=0，但Trace(E)=n。所以不存在这样的矩阵。至于杀鸡用牛刀的问题，我觉得，需要注意下面的一个事情。假设V是一个线性空间，M是从V到V的线性映射。当V是有限维线性空间的时候，M可以写成矩阵的形式，仍然记成M，这时候有Trace(M)的定义。如果V是无限维线性空间，一般不一定有Trace(M)的定义，而且确实有可能AB-BA=E。比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间），V里的元素都是一些函数，形如f(x)。这时候E作为恒等映射，把每个V中的元素映成自身，也就是Ef=f。现在取A把f映成f的导函数，即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x)，即Bf=xf。那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef，对任意f。也就是说AB-BA=E。也就是说，对于无穷维的空间上

[比心]

原题是这样的

您可以再看一下吗？

好的，稍等一下喔

[AWSL]

I表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为BB^2=AA所以AABB=AAB^{t}.由于AAB^{t}是正交阵,(A+B)^{t}(A+B)=I,化简可得：B^{t}A+A^{t}B+I=0.令C=B^{t}A,则C也是正交阵,满足C+C^{t}+I=0,两边乘以C,C^2+C+I=0.正交阵是等距变换,所以特征值只能是正负1.但是正负1都不是方程x^2+x+1=0的解,所以矛盾.

[比心]

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