Question

巳知正整数a、b、K满足k=a^2十b^2/ab-1，求证：K=5？

答案哪个步骤是属于无穷递降？

Answer 1

首先我们证明K为整数。
因为k=a^2十b^2/ab-1，所以ab-1除尽a^2十b^2，即：
a^2十b^2=(ab-1)q+r，其中q,r为整数且0<=r<|ab-1|
将相减得到：
r=a^2+b^2/ab-1
因此，K=r也一定是整数。
接下来，我们证明K=5。
假设K不等于5，即K>=6。那么：
k=a^2+b^2/ab-1
=a^2/ab-1+b^2/ab-1+1
=(a/√(ab-1))^2+(b/√(ab-1))^2+1
因此，
(a/√(ab-1))^2+(b/√(ab-1))^2
b^2/a
ab-1+b/√k>b^2/a
因为左侧是非负整数，所以：
ab-1+b/√k>=b^2/a
由于b^2/a是一个非零实数，所以：
ab-1+b/√k>=b^2/a+1
把b移到一侧：
ab-1-b^2/a>=1-b/√k
因为左侧是一个非负整数，所以：
ab-1-b^2/a>=1
把-1移到一侧：
ab-b^2/a>=2
约分：
a^2+b^2>=2ab
用a^2+b^2>=2ab和a^2+b^2>=8作为条件，可以解得：
a>=4，b>=2
代入原式：
k=a^2+b^2/ab-1
>=16+4/7-1
=19/7
>2
这与K不小于6的假设相矛盾。因此，K必须为5，命题得证。