Question

设向量组abc线性无关,证明向量组a,b-c,c-a线性无关

Answer 1

问：设向量组abc线性无关,证明向量组a,b-c,c-a线性无关

答：要证明向量组a, b-c, c-a线性无关，我们需要证明任何线性组合使得它们的系数全为零。 设存在不全为零的实数α, β, γ，使得αa + β(b-c) + γ(c-a) = 0，我们需要证明α = β = γ = 0。 我们可以展开这个等式，得到：αa + βb - βc + γc - γa = 0。 通过重新排列项，我们可以将上述等式转化为：(α - γ)a + βb + (γ - β)c = 0。 由于向量组abc线性无关，所以(α - γ)a + βb + (γ - β)c = 0的唯一解是α - γ = β = γ - β = 0。 从第一个等式中得到α = γ，再结合第三个等式得到β = 0。 因此，α = γ = β = 0，即向量组a, b-c, c-a线性无关。证毕。