Question

为什么e的极限为e呢？

Answer 1

在数学中，自然对数 e 最常见的定义方式是无穷级数的形式:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
因此，我们可以将 (1 + x)^(1/x) 表示为以下极限形式：
lim x->0 (1 + x)^(1/x)
= lim x->0 (1 + x)^(1/[x * (1/x)])
= lim x->0 [(1 + x)^(1/x)]^(1/x)
= e^(lim x->0 1/x)
= e^∞
= ∞
观察得到，当 x 取极限值 0 时，由于分母为0，使整个极限表达式趋于无穷大。因此，1 + x 的 1/x 次方没有定义。
但是，在极限一侧，即x→0+，若采用e的定义式定义e^(1) = e，则有：
lim x->0+ (1 + x)^(1/x)
= lim x->0+ [e^ln(1+x)]^(1/x)
= lim x->0+ e^(ln(1+x)/x)
= e^(lim x->0+ ln(1+x)/x)
= e^1
= e
因此，在右极限 x→0+ 的情况下，(1 + x)^(1/x) 的极限值为 e。
需要注意的是，在左极限 x→0- 的情况下，(1 + x)^(1/x) 并不收敛于 e，而是会趋近于 0 。