Question

已知函数f(x)=(e^x(1-2x))/(x-1),方程 f[f(x)]=f(t)(t<0) 有三个实数解,

Answer 1

问：已知函数f(x)=(e^x(1-2x))/(x-1),方程 f[f(x)]=f(t)(t<0) 有三个实数解,

答：好的

问：？？

答：亲，您好， 首先，我们可以将f(x)代入f[f(x)]中： f[f(x)] = f(x)exp[(f(x)-1)/(x-1)][2f(x)-1]/[f(x)-1] 接下来我们将t代入f[f(x)]中，得到 f[f(x)] = f(t)exp[(f(t)-1)/(t-1)][2f(t)-1]/[f(t)-1] 因为方程f[f(x)]=f(t)在t<0时有三个实数解，所以f[f(x)]在x的取值范围内也有三个实数解。 考虑f(x)的图像，当x趋近于1时，f(x)的分母趋近于0，因此f(x)在x=1处无定义。又因为f(x)是连续函数，所以f(x)在x=1附近存在奇点。 根据奇点理论，如果f(f(x))在x=1附近存在三个实数解，那么这三个解必然在奇点附近。 综上所述，f[f(x)]=f(t)(t<0)有三个实数解，且这三个解都在f(x)的奇点附近。

问：答案呢

答：亲，您发的图片中有三个实数解，后面有字嘛

问：问t的范围

答：亲，此题t的范围为 (-∞, 0)。 以下是解题步骤： 根据前面的回答，方程 f[f(x)]=f(t)(t<0) 有三个实数解时，这三个解都在 f(x) 的奇点附近。 而f(x)=(e^x(1-2x))/(x-1)，当 x=1 时，分母为零，因此 f(x) 在 x=1 处无定义，即 x=1 是 f(x) 的一个奇点。 首先我们考虑函数值域的范围，由于指数函数的值域是 (0, ∞)，因此当 x 趋近于负无穷时，f(x) 的绝对值趋近于正无穷大。又因为分子为 e^x 乘上一个二次项，所以当 x 趋近于正无穷时，f(x) 的绝对值也趋近于正无穷大，而当 x 趋近于负无穷时，f(x) 的绝对值趋近于 0。综上所述，函数 f(x) 的值域为 (-∞, 0) U (0, +∞)。 接下来我们考虑如何确定 t 的范围。由于 f(f(x)) 中的 x 取值范围未知，我们可以假设 x 的取值范围为全体实数集 R，然后找到 f(f(x)) 中的奇点，进而推出 t 的范围。

答：根据前面的回答，f(x) 在 x=1 处有一个奇点。 当 f(x) 的取值为 0 或 1/2 时，f(f(x)) 中也会出现奇点。因此，我们需要分别讨论 f(x)=0 和 f(x)=1/2 两种情况。 当 f(x)=0 时，即 e^x(1-2x)=0，解得 x=0 或 x=1/2。此时 f(f(x))=f(0) 或 f(1/2)，由于 f(x) 的值域不包含 0 或 1/2，因此这种情况下不存在奇点。 当 f(x)=1/2 时，即 e^x(1-2x)/(x-1)=1/2，化简可得 2x^2-(3+2e^x)x+(1+2e^x)=0。根据二次方程的求解公式，解得x = [3+2e^x±2√(e^(2x)+2e^x-7)] / 4。 考虑方程的根的符号性质，显然当 e^x > 5 时，2√(e^(2x)+2e^x-7) > 3+2e^x，因此此时方程无实数解。又因为 e^x 趋近于 0 或正无穷时，方程的根都趋近于 -∞ 或 +∞，因此只需考虑 e^x ∈ (0, 5] 的情况。

答：当 $e^x = 5$ 时，方程的两根为 -1 和 5/2。由于 $f(x)$ 的值域不包含负数，因此只需考虑 $x=5/2$ 的情况。 当 $e^x \in (0, 5)$ 时，方程的两根均为正实数，且大小关系为 $\frac{3+2e^x-2\sqrt{e^{2x}+2e^x-7}}{4} < \frac{3+2e^x+2\sqrt{e^{2x}+2e^x-7}}{4}$ 显然这两个根都小于 1/2，因此 $f(f(x))$ 在这种情况下不存在奇点。 综上所述，当 $t<0$ 时，方程 $f[f(x)]=f(t)$ 有三个实数解时，$t$ 的范围为 $(-∞, 0)$。

问：这是高二的题目，没学过奇点

答：亲，您好， 首先，我们需要求出f(x)的定义域和值域。 当 x ≠ 1 时，分母不为0，因此f(x)有定义。而当x=1时，分母为0，所以x=1不属于f(x)的定义域。 接下来，我们可以通过对f(x)进行分析，得出它的值域。 由于指数函数e^x的取值范围为(0, +∞)，而分子中的1-2x的取值范围是(-∞, 1/2]，因此当x趋近于正无穷大时，分子会比分母增长得更快，使得f(x)趋近于正无穷大；而当x趋近于负无穷大时，分子会比分母减小得更快，使得f(x)趋近于0。因此f(x)的值域为(0, +∞)。 接下来考虑方程f[f(x)] = f(t)在哪些位置有实数解。 由于f(x)的值域为(0, +∞)，因此左边的f[f(x)]的值域也是(0, +∞)。因此右边的f(t)必须也在(0, +∞)之间。又因为t(t-1)。将其带入f(x)，得到：f(f(x)) = f(x) = (e^x(1-2x))/(x-1) 因此要求f(x)的值在(0, +∞)，需要满足：(e^x(1-2x))/(x-1) > 0

答：可以通过分析得到，当x 0或者x > 1/2时，上式成立。因此，在这些范围内，方程f[f(x)] = f(t)有实数解。综上所述，t的取值范围是： (-∞, 0)。