Question

设a>0,f(X)=[(e的x次方）/a]+[a/(e的x次方)]是R上的偶函数

⑴求a的值
⑵证明f(x)在（0，+∞）上的增函数

Answer 1

偶函数
则 f(x)=f(-x)
f(x)=e^x/a+a/e^x
f(-x)=e^(-x)/a+a/e^x
e^x/a+a/e^x=e^(-x)/a+a/e^(-x)
e^x/a+a/e^x=1/(ae^x)+ae^x
e^x(1/a-a)=1/e^x(1/a-a)
1/a=a
a=1 OR -1
a>0所以a=1
设0<x1<x2
f(x2)-f(x1)
=e^x2/a+a/e^x2-e^x1/a-a/e^x1
=1/a(e^x2-e^x1)+a(1/e^x2-1/e^x1)
=1/a(e^x2-e^x1)-a(e^x2-e^x1)/(e^x1e^x2)
=(e^x2-e^x1)[1/a-a/(e^x1e^x2)]
=(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-a^2)/(ae^x1e^x2)
=(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-1)/(e^x1e^x2)
e^x2-e^x1>0
e^(x1+x2)-e^0>0
e^x1e^x2>0
(e^x2-e^x1)(e^x1e^x2-1)/(e^x1e^x2)>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x)在（0，+∞）上是增函数

Answer 2

f(x)=e&supx;/a+a/e&supx;
由于f(-x)=f(x)
那么有(-e)&supx;/a+a/(-e)&supx;=e&supx;/a+a/e&supx;

那么有[(-e)&supx;-e&supx;]/a=a/e&supx;-a/(-e)&supx;
分解得a=√[e&supx;(-e)⊃x]
(2)
令x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=e&supx1;/a1+a1/e&supx1;-(e&supx2;/a2+a2/e&supx2;)
a1=√(e&supx1;(-e)&supx1;)
a2=√(e&supx2;(-e)&supx2;)
带入```
可以转换成f(x1)-f(x2)=..