Question

在三角形ABC中，a=5，b=4，cos(A-B)=31/32，求cosC=?

Answer 1

∵a＞b,∴A＞B。
作∠BAD＝B交边BC于点D。
设BD＝x，则AD＝x，DC＝5-x。
在ΔADC中，注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32，由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中，AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8

Answer 2

∵a=5＞b=4
∴A＞B....【大边对大角】
在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，
∵BD=AD
∴∠DAB=∠B
∴∠DAC=∠A-∠DAB=∠A-∠B
在△ADC中，cos∠DAC=(AD²+AC²-DC²)/2AD*AC
设BD=AD=x
则DC=a-x=5-x．
又：∠DAC=∠A-∠B
∴cos∠DAC=cos(A-B)=31/32
∴cos∠DAC=(AD²+AC²-DC²)/2AD*AC = {x²+b²-（5-x)²}/(2*x×b) = {x²+4²-（5-x)²}/(2*x×4) =31/32
9x=36
x=4
DA=x=4，DC=a-x=1，AC=b=4
cosC=(DC²+AC²-DA²)/(2*DC*AC) = (1²+4²-4²)/(2*1*4) = 1/8
∴cosC= 1 2 CD AC = 1 8