Question

（2010?海淀区一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，?π2＜φ＜π2），其部分图

（2010?海淀区一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，?π2＜φ＜π2），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数g(x)＝f(x+π4)?f(x?π4)在区间[0，π2]上的最大值及相应的x值．

Answer 1

（I）由图可知，A=1（1分）

T

4

＝

π

2

，所以T=2π（2分）
所以ω=1（3分）
又f(

π

4

)＝sin(

π

4

+?)＝1，且?

π

2

＜φ＜

π

2

所以?＝

π

4

（5分）
所以f(x)＝sin(x+

π

4

)．（6分）

（II）由（I）f(x)＝sin(x+

π

4

)，
所以g(x)＝f(x+

π

4

)?f(x?

π

4

)=sin(x+

π

4

+

π

4

)?sin(x?

π

4

+

π

4

)=sin(x+

π

2

)sinx（8分）
=cosx?sinx（9分）
=

1

2

sin2x（10分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]
故：

1

2

sin2x∈[0，

1

2

]，
当x＝

π

4

时，g（x）取得最大值

1

2

．（13分）