Question

已知函数f（x）=|x 2 -4x+3|．（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）若关于x的方程f（x）-

已知函数f（x）=|x 2 -4x+3|．（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=|x 2 -4x+3|= x 2 -4x+3     (x≤1) - x 2 +4x-3    (1＜x＜3) x 2- 4x+3      (x≥3) ∴当x≤1时，函数为减函数；当1≤x≤2时，函数为增函数； 当2≤x≤3时，函数为减函数；当x≥3时，函数为增函数 由此可得：函数的单调递增区间为[1，2]和[3，+∞）， 递减区间为（-∞，1]和[2，3] （2）关于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a， 由y=x+a和y=-x 2 +4x-3，消去y，得x 2 -3x+3+a=0， 由△=9-4（3+a）=0，得a=- 3 4 ， ∴当a=- 3 4 时，直线y=x+a与曲线y=-x 2 +4x-3相切于点A（ 3 2 ， 3 4 ）， 又∵直线y=x+a经过点B（1，0）时，两图象也有三个公共点，此时a=-1 ∴当直线y=x+a位于点A、B之间（含边界）时，两图象至少有三个不同的交点 由此，结合函数图象可得a∈[-1，- 3 4 ]．