已知P为椭圆C：x22+y2=1上一动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，PF1，PF2的延长线分别交椭圆C于A，B两点．
已知P为椭圆C：x22+y2=1上一动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，PF1，PF2的延长线分别交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）当△F1F2P的面积最大时，求线段|AB|的...
已知P为椭圆C：x22+y2=1上一动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，PF1，PF2的延长线分别交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）当△F1F2P的面积最大时，求线段|AB|的长；（Ⅱ）当点P不在y轴上时，设直线OP，AB的斜率分别为k1，k2．求证：k1?k2为定值．
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（Ⅰ）当点P到x轴的距离最大时，△F1F2P的面积最大，此时P为椭圆C的上顶点或下顶点，
由对称性，不妨设点P为上顶点（0，1），
又F1（-1，0），F2（1，0），
直线F1P的方程为y=x+1，将直线F1P：y=x+1代入椭圆C的方程可得
+(x+1)2=1，解得x=-
，
则A点的横坐标为-
，
同理，可得B点的横坐标为
，
此时A，B两点关于y轴对称，则线段|AB|的长为
．
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当x0≠-1时，直线F1P的方程为：y=
(x+1)，将其代入椭圆C的方程可得
+
(x+1)2=1，
整理可得(2x0+3)x2+4
x-3
-4x0=0，
则x0x1=
，得x1=-
，y1=
(-
+1)=-
，
故A(-
，-
)．
当x0≠1时，直线F2P的方程为：y=
(x-1)，将其代入椭圆方程并整理可得(-2x0+3)x2-4
x-3
+4x0=0，
同理，可得B(
，
)，
则k2=kAB=
=
．
又k1=kOP=
，
则k1?k2=
?
=
=
=-
为定值；
（2）当x0=-1时，由对称性，不妨设点P在x轴上方，则P点坐标为(-1，
)，
可求得此时A，B点的坐标分别为(-1，-
)和(
，-
)，
∴k1=-
由对称性，不妨设点P为上顶点（0，1），
又F1（-1，0），F2（1，0），
直线F1P的方程为y=x+1，将直线F1P：y=x+1代入椭圆C的方程可得
| x2 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
则A点的横坐标为-
| 4 |
| 3 |
同理，可得B点的横坐标为
| 4 |
| 3 |
此时A，B两点关于y轴对称，则线段|AB|的长为
| 8 |
| 3 |
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当x0≠-1时，直线F1P的方程为：y=
| y0 |
| x0+1 |
| x2 |
| 2 |
| ||
| (x0+1)2 |
整理可得(2x0+3)x2+4
| y | 2 0 |
| x | 2 0 |
则x0x1=
-3
| ||
| 2x0+3 |
| 3x0+4 |
| 2x0+3 |
| y0 |
| x0+1 |
| 3x0+4 |
| 2x0+3 |
| y0 |
| 2x0+3 |
故A(-
| 3x0+4 |
| 2x0+3 |
| y0 |
| 2x0+3 |
当x0≠1时，直线F2P的方程为：y=
| y0 |
| x0-1 |
| y | 2 0 |
| x | 2 0 |
同理，可得B(
| 3x0-4 |
| 2x0-3 |
| y0 |
| 2x0-3 |
则k2=kAB=
| ||||
|
| x0y0 | ||
3(
|
又k1=kOP=
| y0 |
| x0 |
则k1?k2=
| y0 |
| x0 |
| x0y0 | ||
3(
|
| ||
3(
|
1-
| ||||
3(
|
| 1 |
| 6 |
（2）当x0=-1时，由对称性，不妨设点P在x轴上方，则P点坐标为(-1，
| ||
| 2 |
可求得此时A，B点的坐标分别为(-1，-
| ||
| 2 |
| 7 |
| 5 |
| ||
| 10 |
∴k1=-
