Question

已知曲线C：y=x 3 -3x 2 +2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠0），求直线l

已知曲线C：y=x 3 -3x 2 +2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠0），求直线l的方程及切点坐标．

Answer 1

∵直线过原点，则k= y 0 x 0 （x 0 ≠1）． 由点（x 0 ，y 0 ）在曲线C上，则y 0 =x 0 3 -3x 0 2 +2x 0 ， ∴ y 0 x 0 =x 0 2 -3x 0 +2． 又y′=3x 2 -6x+2， ∴在（x 0 ，y 0 ）处曲线C的切线斜率应为k=f′（x 0 ）=3x 0 2 -6x 0 +2． ∴x 0 2 -3x 0 +2=3x 0 2 -6x 0 +2． 整理得2x 0 2 -3x 0 =0． 解得x 0 = 3 2 （∵x 0 ≠0）． 这时，y 0 =- 3 8 ，k=- 1 4 ． 因此，直线l的方程为y=- 1 4 x，切点坐标是（ 3 2 ，- 3 8 ）．