Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB=2，CE=4，①求圆的半径；②求DE、DF的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①3；② ， .

试题分析：（1）连接OE，证OE∥AD，即可得出OE⊥CD根据切线判定推出即可；（2）证△COE∽△CAD，求出DE，AD，证△DEF∽△DAF，推出DE2=DF×AD，即可求出DF． 试题解析：（1）如图，连接OE， ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA. ∵AE平分∠CAD，∴∠OAE=∠DAE. ∴∠OEA=∠DAE. ∴OE∥AD. ∵DE⊥AD，∴OE⊥DE. ∵OE为半径，∴CD是⊙O的切线。 （2）①设⊙O的半径是r， ∵CD是⊙O的切线，∴∠OEC=90°. 由勾股定理得：OE 2 +CE 2 =OC 2 ，即 ，解得r=3，即⊙O的半径是3 ②∵由（1）知：OE∥AD，∴ ，△COE∽△CAD. ∴ . ∴ . ∴ ，解得 . 如图，连接BE、EF， ∵AB是直径，∴∠BEA="90°." ∴∠ABE+∠BAE="90°." ∵B、E、A、F四点共圆，∴∠EFD=∠ABE. ∵AE平分∠CAD，∴∠BAE=∠DAE. ∴∠DAE+∠EFD=90°. ∵ED⊥AD，∴∠FED+∠EFD="90°." ∴∠DAE=∠FED. ∵∠D=∠D，∴△EFD∽△AED. ∴ ，∴ .