Question

（本小题满分9分） 如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝

（本小题满分9分） 如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝ a(0< ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的 （0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为60 0 C，求 的值。





Answer 1

（Ⅰ）见解析；(II) 。

运用三垂线定理证明线线垂直，第二问是告诉二面角求参数的值，这是二面角的逆向问题，仍然要作出二面角，求二面角才能解出参数。这题除了用传统的证法与求角的方法外，也可以应用空间向量来解决。 解：（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC BD。 SD 平面ＡＢＣＤ， BD是BE在平面ABCD上的射影， 由三垂线定理得AC BE. (II)解法1： SD 平面ABCD，ＣＤ 平面ＡＢＣＤ，  SD CD. 又底面ＡＢＣＤ是正方形，  ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。 过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE， 故 CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即 CFD=60°  在Rt△ADE中， AD= , DE= ， AE=  。 于是，DF= 在Rt△CDF中，由 cot60°= 得 ，      即 =3  解得 。