设某随机变量X的概率密度为f（x；θ）=(θ+1)xθ，1＞x＞00，其他其中θ未知，设x1，x2，…，xn是X的一组
设某随机变量X的概率密度为f（x；θ）=(θ+1)xθ，1＞x＞00，其他其中θ未知，设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的矩估计值和最大似然估计值．...
设某随机变量X的概率密度为f（x；θ）=(θ+1)xθ，1＞x＞00，其他其中θ未知，设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的矩估计值和最大似然估计值．
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①矩估计
∵EX＝
xf(x)dx=
(θ+1)xθ+1dx＝
令EX＝
，得
＝
即θ＝
?2
∴θ的矩估计量
＝
?2
②最大似然估计
∵最大似然函数为：
L(x1，x2，…，xn；θ)＝
∴lnL＝nln(θ+1)+θ
lnxi，0＜xi＜1
∴
＝
+
lnxi
令
＝0
解得
＝?
∵EX＝
| ∫ | +∞ ?∞ |
| ∫ | 1 0 |
| θ+1 |
| θ+2 |
令EX＝
. |
| X |
| θ+1 |
| θ+2 |
. |
| X |
即θ＝
| 1 | ||
|
∴θ的矩估计量
| ∧ |
| θ |
| 1 | ||
|
②最大似然估计
∵最大似然函数为：
L(x1，x2，…，xn；θ)＝
|
∴lnL＝nln(θ+1)+θ
| n |
 |
| i＝1 |
∴
| dlnL |
| dθ |
| n |
| θ+1 |
| n |
|
| i＝1 |
令
| dlnL |
| dθ |
解得
| ∧ |
| θ |
| n | |||
|
