Question

（2013?潮州二模）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3

（2013?潮州二模）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=13DB，点C为圆O上一点，且BC=3AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

解答：解析：（1）连接OC，由AD=

1

3

BD知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵

3

AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=

3

，PD=BD=3，
∴PB=3

2

，则DE=

PD×BD

PB

=

3 2

2

，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=

CD

DE

=

6

3

，
∴cos∠DEC=

15

5

，即二面角C-PB-A的余弦值为

15

5

．