已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＞0，求f
已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：ln222+ln3...
已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：ln2 22+ln332+…+lnnn2＜2n2?n+14(n+1)（n∈N+，n≥2）
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（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，1]上单调递减；
当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=1-
=
＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0；
（Ⅱ）解：若a≥1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-
=
≥0，∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-
=
，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减
综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，当a=1，x＞1时，f（x）≥0，∴1-（x+lnx）≥0，∴lnx≤x-1．
∵x＞0，∴
≤1?
∵n∈N+，n≥2，令x=n2，得
≤
(1?
)，
∴
+
+…+
≤
（1-
+1-
+…+1-
）
=
[n-1-（
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x?1 |
| x |
∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0；
（Ⅱ）解：若a≥1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x?1 |
| x |
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x?1 |
| x |
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减
综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，当a=1，x＞1时，f（x）≥0，∴1-（x+lnx）≥0，∴lnx≤x-1．
∵x＞0，∴
| lnx |
| x |
| 1 |
| x |
∵n∈N+，n≥2，令x=n2，得
| lnn |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n2 |
∴
| ln2 |
| 22 |
| ln3 |
| 32 |
| lnn |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
22<
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