Question

高等数学：求二重积分

Answer 1

设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性质。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ
性质6二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ

Answer 2

0<x<y
0<y<1
原式=∫(0,1)dy∫(0,y)siny²dx
=∫(0,1)ysiny²dy
=-1/2 cosy² |(0,1)
=-1/2 (cos1-cos0)
=1/2 (1-cos1)

Answer 3