Question

设0<a,b,c<1,证明（1-a）*b,（1-b）*c,（1-c）*a 不能都大于1/4

设0<a,b,c<1,证明（1-a）*b,（1-b）*c,（1-c）*a 不能都大于1/4

Answer 1

x+1/x ≥2,
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4，
那么
1-a>1/4b
1-b>1/4c
1-c>1/4a
三式相加变形得
3-（a+b+c) > 1/4 * (1/a+1/b+1/c)
再两边乘2，变形得
(2a + 2b + 2c + 1/2a + 1/2b + 1/2c) < 6
而2a + 1/2a ≥ 2
2b + 1/2b ≥ 2
2c + 1/2c ≥ 2
即(2a + 2b + 2c + 1/2a + 1/2b + 1/2c) ≥ 6
这与上式矛盾，所以原式成立

Answer 2

提示：用反证法。
若都大于1/4，连乘三式得（1-a）b（1-b）c（1-c）a >1/4^3
但是a(1-a)<=((a+1-a)/2)^2=1/4,对于b(1-b)<=1/4,c(1-c)<=1/4,三式连乘，得到矛盾。