Question

如图，一个高数导数的一个选择题，有大神解决下吗

如图，一个高数导数的一个选择题，有大神解决下吗如图，2.11题，是2.11题哦。

导数存在的定义不是该点左导数等于右导且存在吗
这个题f‘ 零正零负导数极限都不存在啊，为什么说他在x0处是可导的呢

Answer 1

根据导数定义
f'(0)=lim(t->0) [f(t)-f(0)]/t
=lim(t->0) [t^(5/3)*sin(1/t)-0]/t
=lim(t->0) t^(2/3)*sin(1/t)
=0
所以f(x)在x=0点处可导

追问

那个左右导数极限不存在怎么解释

追答

左右导数极限存在且相等，是为了说明导函数连续，并不能说明导数存在

追问

这个式子是不是说左右导不存在…

x趋于0，也就是x左边和右边 极限不存在

追答

对呀，左右导数不存在，说明导函数不连续，但导数还是存在的

追问

但是书上写着这一点可导的充要条件是该点左右导数存在且相等，而不是该点导函数连续充要条件呀…。也即在这点可导一定能推出左右导极限存在且相等。但是题中说了可导，但又说左右导极限不存在…

追答

左右导和导函数左右极限是两个概念
比如说
左导数：lim(t->0-) [f(x0+t)-f(x0)]/t
导数的左极限：lim(x->x0-) f'(x)=lim(x->x0-) lim(t->0) [f(x+t)-f(x)]/t
区别就在于x0点处的左极限是否和f(x0)相等

Answer 2

怎么算的左右导数不存在？

追问

自己算的呗，左右倒数极限不存在，而且答案也说了啊，零整零负导数都不存在

应该是这个意思吧

x趋于0时，导数不存在

x等于0时，导数为0

追答

这个题意思是，函数在x=0倒数存在，但是导函数在x=0不连续

就是说f'(x)在x=0不连续并不是说f(x)在x=0不可导

你理解错了

追问

…可是书上就这么说啊，左右导数存在且相等是该点可导的必要条件啊

这个点他说0点可导，但是左右导又不存在…对不起我实在是没懂他要说啥

追答

我明白你绕在哪里了😄

好，我问你，书上哪里说左右导数不存在了？

追问

呃…这个式子不是说极限不存在嘛…，趋于0时候，也就是0正和0负时候把…然后答案说不存在嘛

我真是绕不开了…

追答

设g(x)=f'(x),limg(x)不存在，说明g(x)在x=0不连续

你就是因为多个求导符号，就晕了

所以极限不存在直说明导函数在x=0不连续

你把函数在某一点极限不存在和左右导定义式极限不存在混淆了

函数在有一点的左右导数是在函数不连续的时候求不连续点导数的方式

连续点就直接按导数表计算了

一阶导函数实际也是一个普通函数，一阶导函数是否连续，就看在分段点函数左右极限是否存在且等于该点函数值

这个极限左右导数不一样

追问

乍一下貌似大彻大悟，乍一下又进去了…不过好像是懂了。感谢你答了这么多