Question

高数数列极限

Answer 1

（1）a(n+1)/an=1-1/(n+1)^2
=(n^2+2n)/(n+1)^2
=n(n+2)/(n+1)^2
=[n/(n+1)]*[(n+2)/(n+1)]
即an/a(n-1)=[(n-1)/n]*[(n+1)/n]
a(n-1)/a(n-2)=[(n-2)/(n-1)]*[n/(n-1)]
......
a3/a2=(2/3)*(4/3)
a2/a1=(1/2)*(3/2)
上述(n-1)个式子相乘，得：an/a1=(1/2)*[(n+1)/n]
an=(n+1)/2n
所以lim(n->∞)an=1/2
（2）等号两边求极限，设lim(n->∞)an=A
A=1+A/(1+A)
A+A^2=1+A+A
A^2-A-1=0
A=(1+√5)/2或(1-√5)/2（舍去）
所以lim(n->∞)an=(1+√5)/2
（3）等号两边求极限，设lim(n->∞)an=A
A=(1/2)*(A+a/A)

2A=A+a/A
A=a/A
A=√a或-√a（舍去）
所以lim(n->∞)an=√a

Answer 2

有名的斐波那契数列通项公式，设a=（1+√5）/2，b=（1-√5）/2，则a>1>b
limFn/F（n+1）=lim（a^（n+1）-b^（n+1））/（a^（n+2）-b^（n+2））=lim（1/a-（b/a）^（n+1）/a）/（1-（b/a）^（n+2））=（1/a-0）/（1-0）=1/a=（√5-1）/2