Question

高数 高阶导数

Answer 1

分两部分用莱布尼茨公式求
y=x^n/(1-x) + xcos²x
对于x^n/(1-x)
(uv)^(n)＝∑C(n,k) u^(n-k) v^(k)
令u=x^n，v=1/(1-x)
u'=nx^(n-1)
u''=n(n-1)x^(n-2)
……
u^(n-k)=n(n-1)……(n-k)x^k
v'=-1/(1-x)²
v''=2/(1-x)³
……
v^(k)=(-1)^k * k!/(1-x)^(k+1)
所以[x^n/(1-x)]^n=∑C(n,k) n(n-1)……(n-k)x^k*(-1)^k * k!/(1-x)^(k+1)
k从0到n
对于xcos²x
令u=cos²x=(cos2x+1)/2，v=x
v'=1
v''=0
……
所以k大于等于2时，v导数都是0
u'=-2sin2x/2=-sin2x=cos(2x+π/2)
u''=-2cos2x=2cos(2x+π)
u'''=4sin2x=4cos(2x+3π/2)
……
u^(n-k)=2^(n-k-1)cos[2x+(n-k)π/2]
所以u^(n)=2^(n-1)cos(2x+nπ/2)
u^(n-1)=2^(n-2)cos[2x+(n-2)π/2]
所以(xcos²x)^(n)=C(n,0)2^(n-1)xcos(2x+nπ/2)+C(n,1)2^(n-2)cos[2x+(n-2)π/2]
=2^(n-1)xcos(2x+nπ/2)+2^(n-2)ncos[2x+(n-2)π/2]
再把上面两个加起来就是答案了