Question

线性代数第一道选择题，为什么C选项是错误的呢？求解答（只解释C选项）谢谢

Answer 1

A有n个线性无关的特征向量，等价于A可以对角化，

事实上A不一定能对角化（同时满足A^k=0）例如：

A=

0 1

0 0

A^2=

0 0

0 0

但事实上A无法对角化，没有2个线性无关的特征向量

Answer 2

反证法。
假设A有n个线性无关的特征向量，则A必定是满秩矩阵，那么A的行列式就不为零，A^k不可能为零。
另外，选择题可以采用特殊值法来判断。对于此题，假如k=1，BC都不对。
再取k=2，A不一定对。

追问

首先前三句话我认为没有必然的关系，理由如下：“假设A有n个线性无关的特征向量，则A必定是满秩矩阵”我举一个反例如图一。对于反例k=1时，A=O，此时，A确实有n个线性无关的特征向量，例如a1=（1，0，0），a2=（0，1，0），a3=（0，0，1）。

希望得到解答，谢谢

追答

你说的是对的，我这里的表达不严谨。确切是说，应该是n阶方阵有n个相异的特征值，则有n个线性无关的特征向量。

追问

那C选项为什么是错的呢？

追答

A=(1,1;-1,-1),A^2=0
特征值都是零，特征向量为(1,-1)/sqrt(2),只有一个线性无关的特征向量