Question

f(x)＝arctan1/x求左右极限，x＝0 处，是否存在极限

Answer 1

不存在。

证明如下：

x→0+时1/x→＋∞

所以lim(x→0+)arctan(1/x)→limarctan(+∞）＝π／2

x→0-时1/x→－∞

所以lim(x→0-)arctan(1/x)→limarctan(-∞）＝－π／2

因为lim(x→0+)arctan(1/x)≠lim(x→0-)arctan(1/x)

所以函数在该点的极限不存在。

方法

①利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

②恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

③通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

Answer 2

如图