在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin22B+...
在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．（1）求∠B的值；（2）若b=3，求a+c的最大值．...
在锐角△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin22B+sin2BsinB+cos2B=1． （1）求∠B的值； （2）若b=3，求a+c的最大值．
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解：（1）∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1，
∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=π3；
（2）由（1）知∠B=π3，
∴cosπ3=a2+c2-b22ac，
即b2=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-34(a+c)2=(a+c2)2
∴（a+c）2≤4b2=36，可知a+c的最大值为6．
∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=π3；
（2）由（1）知∠B=π3，
∴cosπ3=a2+c2-b22ac，
即b2=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-34(a+c)2=(a+c2)2
∴（a+c）2≤4b2=36，可知a+c的最大值为6．
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