Question

线代：施密特正交化

Answer 1

从线性无关向量组

到正交向量组

采取的方法就是正交化方法

可以看出一定的规律。

以下图为例

首先，确定了一个基准，也就是a1。这一步是很关键的，没有参考也就谈不上描述了。

然后就是神奇的构造过程。

向量可看做是从原点引出的，所以两向量必有一公共点，也就是原点。所以这两个向量必确定一个平面。注：考虑两向量线性无关，所以不存在共线的情况。

对于平面向量，可以进行正交分解。对于a2，它可以分解为沿b1方向和垂直于b1方向的两个分量。于是考虑到可以考虑将b1方向的分量去除，这样就得到了⊥b1的向量，也就实现了正交化的目的。

具体的做法

先分解，再减去线性相关的分量，得到的就是正交的分量。

至于三维，四维，乃至n维向量，没有区别

最后，进行单位化，除以模长，得到单位向量。

这几天有了新的理解，关于 向量内积

在傅里叶级数的理解一文中，使用了内积来求分量，是一个不错的方法。介绍于下：

对于标准正交基：

对于正交基，无非是添上了系数，仍然反映坐标。

从而就很好理解了。