Question

cosx的n次方乘以e的x次方的积分

Answer 1

问：cosx的n次方乘以e的x次方的积分

答：您的图片就是题目吗？图片不太清晰看不清

问：求sinx的n次方和e的x次方的乘积在0到π/2的积分然后再求n无穷大的极限

答：要求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x\sin^n(x)dx$，我们可以使用分部积分法。设 $u=e^x$，$dv=\sin^n(x)dx$，则 $du=e^x dx$，$v=-\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n-1}(x)$。于是有：\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x\sin^n(x)dx &=-\frac{1}{n}e^x\cos(x)\sin^{n-1}(x)|_0^{\frac{\pi}{2}} +\frac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x(n-1)\cos(x)\sin^{n-1}(x)dx\\ &=\frac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x(n-1)\cos(x)\sin^{n-1}(x)dx \end{aligned}∫​esin(x)dx​=−​ecos(x)sin(x)∣​+​∫​e(n−1)cos(x)sin(x)dx=​∫​e(n−1)cos(x)sin(x)dx​接下来考虑当 $n\to \infty$ 时的

答：\begin{aligned} I_n &= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0 \qquad(n\text{ 为偶数})\ &=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1 \qquad(n\text{ 为奇数})\ &=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_0 \qquad(n\text{ 为偶数})\ &=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_1 \qquad(n\text{ 为奇数}) \end{aligned}其中 $n!!$ 表示 $n$ 的阶乘中每隔一个数相乘的结果，例如 $5!!=5\times 3\times 1=15$。显然有 $(n-1)!!=\frac{(n-1)!}{2^{(n-1)/2}((n-1)/2)!}$ 和 $n!!=\

答：(n-2)\cdot(n-4)\cdots 3}\cdot(e^{\frac{\pi}{2}}-\frac{e}{2}-\frac{1}{2})\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{(n+1)/2}}{n!!}\cdot(e^{\frac{\pi}{2}}-\frac{e}{2}-\frac{1}{2})\ &=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-\frac{e}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.4429 \end{aligned}因此，当 $n$ 无穷大时，原积分的值趋近于 $0$（当 $n$ 为偶数时）或 $\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-\frac{e}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2\pi}}$（当 $n$ 为奇数时）。