Question

什么正定二次型，半正定二次型，负定二次型，不定二次型，给出详细的定义和它们的区别

Answer 1

问：什么正定二次型，半正定二次型，负定二次型，不定二次型，给出详细的定义和它们的区别

答：# 关于正定二次型、半正定二次型、负定二次型和不定二次型 ## 正定二次型 - 对于任意非零向量x，都有x'Ax > 0，其中A为n阶对称矩阵。 - 简言之，正定二次型的取值始终大于0。 ## 半正定二次型 - 对于任意非零向量x，都有x'Ax ≥ 0，其中A为n阶对称矩阵。 - 简言之，半正定二次型的取值始终大于等于0。 ## 负定二次型 - 对于任意非零向量x，都有x'Ax 0，其中A为n阶对称矩阵。 - 简言之，负定二次型的取值始终小于0。 ## 不定二次型 - 存在非零向量x1和x2，使得x1'Ax1 > 0，x2'Ax2 < 0，其中A为n阶对称矩阵。 - 简言之，不定二次型的取值可以同时大于0和小于0。 ## 概念区别 - 正定二次型和半正定二次型取值范围分别是大于0和大于等于0，二者皆为正态型。 - 负定二次型取值范围是小于0，具有负态型。 - 不定二次型的取值范围是既可以大于0也可以小于0，存在正态型和负态型的情况。 - 正定二次型的矩阵A必定是正定矩阵，半正定二次型的矩阵A则是半正定矩阵，负定二次型的矩阵A是负定矩阵。 - 不定二次型的矩阵A既非正定矩阵也非负定矩阵，可以同时存在正负特征值。

问：和它们的特征向量特征值有什么关系吗？

答：对于一个二次型，其特征向量和特征值与其性质之间存在一定的关系。 对于正定二次型，其特征值均为正数，而且特征向量与对应的特征值有关系。正定二次型的特征向量是其矩阵A的特征向量，而且特征向量与特征值之间的关系是：Ax=λx，其中x为特征向量，λ为特征值。也就是说，正定二次型的特征向量与特征值之间满足线性关系，并且特征值为正数。 对于半正定二次型，其特征值可能为正数，也可能为零。特征向量与特征值之间的关系与正定二次型类似，满足Ax=λx，其中x为特征向量，λ为特征值。半正定二次型的特征值可以是非负数。 对于负定二次型，其特征值均为负数，特征向量与特征值之间也满足Ax=λx的关系。负定二次型的特征向量是其矩阵A的特征向量，而且特征向量与特征值之间的关系是特征值为负数。 对于不定二次型，其特征值可以同时包含正数和负数。不定二次型的特征向量与特征值之间的关系也满足Ax=λx的条件，但特征值可以为正数和负数，甚至同时存在正负特征值。因此，二次型的特征向量和特征值与其性质之间是密切相关的。

问：什么叫取值均大于零

问：它的行列式都大于零吗？

答：当说一个二次型的特征值“取值均大于零”时，意味着该二次型的所有特征值都是大于零的正数。 特征值是二次型矩阵的特征方程的解，它们表示了二次型在特征向量方向上的放大缩小倍数。如果所有特征值都大于零，那么这个二次型在所有的特征向量方向上都是正定的，也就是说它在任意方向上都有正的放大效果。 正定二次型具有以下性质： 1. 对于任何非零向量，其映射到二次型后的值都大于零。 2. 二次型的矩阵是正定的。 3. 其所有特征值都大于零。 在线性代数和优化理论中，正定二次型是一类非常重要的函数形式，具有许多良好的性质和应用，比如在约束优化、凸优化、最小二乘法等方面都有广泛的应用。

答：是的，当一个矩阵满足取值均大于零的条件时，其行列式也大于零。具体而言，一个对称矩阵A的所有特征值都大于零，当且仅当A是正定的，其行列式det(A)大于零。这与行列式是矩阵的特征值之积的性质有关。根据行列式的定义，如果一个矩阵的所有特征值都大于零，则它们的乘积也大于零。因此，对于正定矩阵，它的行列式必然大于零。反之，如果一个矩阵的行列式大于零，则它的特征值也必然大于零，但特征值之和或特征值之积未必大于零。