Question

一道初三数学题

三角形ABC是等腰直角三角形，角A是90度，AB=AC=3cm，动点P.Q同时从AB两点出发，分别沿AB.BC方向均匀移动，P的速度是1cm/s,Q的速度是根号2cm/s，当点P到达点B时，PQ两点停止运动，设点P的运动时间为t(s),解答下列问题：
（1）当t为何值时，三角形PBQ是直角三角形？
（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是三角形ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由。
（3）设PQ的长为y(cm),试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，PQ达到最短和最长，并写出PQ的最小值和最大值。

Answer 1

1.BP=3-t, BQ=根号2t.
三角形PBQ是直角三角形有两种可能；
如果角BPQ是直角，则
根号2 * BP = BQ
即 根号2 *（3-t）=根号2t
得 t=1.5
如果角BQP是直角，则
根号2 * BQ = BP
即 2t =3-t
得 t=2
2.不存在
如果存在，则三角形BPQ面积是三角形ABC面积的三分之一，即 （1/2）* （3-t）*（根号2t）* sin45'=(1/3)*（1/2）* 3 * 3
化简得 t平方 - 3t + 3 = 0
deta = 9 - 3*4 < 0
所以这样的t不存在。
3.利用余弦定理求解：
y平方 = （3-t）平方 + （根号2t）平方 - 2 * cos45 * (3-t) * (根号2t)
=5*t平方 - 12t + 9
由于0<=t<=3,所以
t=1.2时，y 最小为 根号1.8
t=3时，y最大为 3*根号2

Answer 2

1
(3-T)/根号2=根号2T 3-T=2T T=1
根号2(3-T)=根号2T 3-T=T T=3/2
2
(3-T)T/2=3*3/2*1/3=3/2 3T-T方=3 T方-3T+3=0 无解,所以不存在
3
Y=根号[(3-2T)方+T方]=根号(5T方-12T+9)
T=12/10=1.2时 PQ最小=根号(5*1.44-12*1.2+9)=根号1.8=3根号5/5
PQ最大=3根号2