Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像C与x轴有两个交点，

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像C与x轴有两个交点，它们之间的距离是6，C的对称轴方程为x=2且f(x)有最小值-9.

1)求a,b,c的值。
2）如果f(x)不大于7,求对应x的取值范围。

请帮忙详细解答这道题

Answer 1

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像C与x轴有两个交点分别为x1,x2且有x1<x2，因为两个交点之间的距离为6，所以有x2-x1=6,C的对称轴方程为x=2，所以有(x1+x2)/2=2这样就可以解得x1=-1,x2=5.于是函数方程为f(x)=a(x+1)(x-5)=a[(x-2)^2-9].因为f(x)有最小值-9. 所以有a>0,－9a=-9,a=1.于是有函数方程为f(x)=x^2-4x-5.a=1,b=-4,c=-5
2,f(x)<=7所以有x^2-4x-5<=7即x^2-4x-12<=0于是可以解得-2=<x<=6

Answer 2

(1)
C的对称轴方程为x=2且f(x)有最小值
x=-b/(2a)=2(1)
a>0(2)
f(2)=4a+2b+c=-9(3)
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
|x1-x2|=6
(x1+x2)^2-4x1x2=36
(b^2-4ac)/a^2=36(4)
由（1）（2）（3）（4）得：
a=1
b=-4
c=-5
f(x)=x^2-4x-5

(2)
f(x)≤7
x^2-4x-5≤7
x^2-4x-12≤0
(x-6)(x+2)≤0
-2≤x≤6
x∈[-2,6]